Le nombre d’or, l’incarnation du mystère 1/2

Les arcanes du nombre d'or

Les arcanes du nombre d’or

 

Le nombre d’Or est un de ses mystères des mathématiques dont l’omniprésence ne cesse de surprendre et dont l’explication demeure à ce jour inconnue. Selon l’école Pythagoricienne, il fait partie de ces nombres sur lequel la voûte de l’univers repose.

De tout temps, ce nombre a brillé par sa présence et son utilisation dans des domaines aussi divers que la géométrie, l’architecture, la peinture, la musique, la biologie, l’astronomie … Philosophiquement parlant, le nombre d’Or serait l’incarnation mathématique de la beauté.

En d’autres termes, l’emploi de ce nombre dans une quelconque réalisation conduirait fatalement à une harmonie géométrique.

Le nombre d’Or, dit Phi, est un nombre irrationnel dont les premières décimales sont 1,618. Il correspond mathématiquement au rapport suivant :

Phi ou le nombre d'or

Phi ou le nombre d’or

Ce rapport provient de la solution positive de la résolution d’une équation basée sur le schéma suivant :

La section dorée

La section dorée

Il peut être utilisé afin de diviser une ligne en deux parts inégales de manière à obtenir la relation découverte par Euclide, père de la géométrie, dans son anthologie Les Éléments : b/a = a/(a+b).

Une fois correctement écrite, cette même relation s’avère être une équation du second degré dont une des deux solutions n’est autre que 1,618. On parle de section dorée.

Si phi porte cette appellation, c’est en hommage au sculpteur grec très connu Phidias (490-430 av J.C) qui bâtit le Parthénon, et qui utilisa maintes fois ce même rapport dans l’élaboration de son magnifique édifice. Toutefois, l’usage de ce nombre s’avère encore plus ancien que les Grecs. On le retrouve étrangement dans l’architecture de la Pyramide de Khéops, près de 2800 ans avant J.C.

Leonardo Fibonacci

Leonardo Fibonacci

Les recherches sur ce nombre mystérieux se sont poursuivies au cours des siècles, connaissant des avancées de plus en plus fracassantes. Un de ces progrès dans l’appréhension de phi eut lieu notamment au Moyen-Âge par le biais du mathématicien italien Leonardo Fibonacci, ou Léonard de Pise (1175-1240) qui réussit à mettre en évidence une série mathématique en lien direct avec le nombre d’Or.

La Joconde de Léonard de Vinci

La Joconde de Léonard de Vinci

La Renaissance aura également apporté son lot de découvertes sur cette thématique avec son emploi dans diverses œuvres. On le retrouve dans les proportions de la Mona Lisa de Léonard de Vinci. Le mathématicien et moine franciscain Luca Pacioli emploie le terme de « Divine Proportion » pour qualifier ce nombre si extraordinaire.
C’est au tour de l’astronome Johannes Kepler (1571-1630) d’employer la périphrase de « joyau de la géométrie » à son égard.

Il faudra attendre le XXème siècle avec le diplomate et ingénieur roumain Matila Ghyka pour que le terme de « nombre d’or » apparaisse tandis que des artistes contemporains tels que Dali, Picasso ou Le Corbusier usent à foison de ce dernier dans leurs réalisations.

La question que l’on peut dès lors se poser n’est autre que la suivante : certes, ce nombre interviendrait maintes et maintes fois, mais de quelle manière ?

A cette interrogation, il serait possible d’y répondre par trois points :
– Le rectangle d’or.
– La spirale d’or.
– La suite de Fibonacci.

Le Parthénon et le nombre d'or

Le Parthénon et le nombre d’or

Commençons par le plus simple : le rectangle d’or. Il s’agit simplement d’un rectangle dont le rapport de la longueur sur la largeur est égal à 1,618. Il est omniprésent dans le Parthénon notamment, tout comme on le retrouve sur d’autres monuments grandioses : la Cathédrale Notre-Dame.

La Cathédrale Notre-Dame de Paris

La Cathédrale Notre-Dame de Paris

On peut effectivement observer des rectangles d’or au niveau des portes mais aussi au niveau des fenêtres. Il n’est cependant pas nécessaire de remonter si loin pour trouver des exemples, à l’instar du dessin de la pomme Apple.

Une pomme pas si ordinaire

Une pomme pas si ordinaire

Il s’avère que le rectangle d’or possède une propriété géométrique stupéfiante : il est possible d’imbriquer des rectangles d’or de taille plus petite à l’intérieur, de telle sorte à ce qu’une mise en abîme s’opère et qu’une spirale se dessine : c’est la spirale dorée. Cette même spirale qui suit la courbe de la coque du nautile et que l’on retrouve également dans les endroits les plus insoupçonnés.

La spirale d'or

La spirale d’or

La suite de Fibonacci repose quant à elle sur une suite arithmétique dont les premiers nombres sont les suivants : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 …
En vérité, le terme suivant correspond à la somme des deux derniers termes, en l’occurrence 13 + 21 qui donne 34, et ainsi de suite.
Le plus surprenant dans cette suite, c’est le rapport de deux termes consécutifs. Plus on poursuit la suite, plus on se rapproche de phi.
Un exemple sera plus parlant :
– 1/1 = 1
– 3/2 = 1,5
– 5/3 = 1,67
– 21/13 = 1,615
– 233/144 = 1,61805 …

Chaque génération de lapins correspond à un nombre de la suite

Chaque génération de lapins correspond à un nombre de la suite

Pour la petite histoire, il s’agissait de la solution fournie par Léonard de Pise afin de pouvoir prévoir l’augmentation croissante de lapins au fur et à mesure des générations. Les nombres de cette suite sont de cette façon directement liés au nombre d’Or, et eux aussi sont omniprésents comme nous le verrons dans le prochain article traitant notamment sur le nombre d’Or dans les arts et la nature.

A la semaine prochaine !

L'omniprésence de Phi

L’omniprésence de Phi

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2 commentaires sur “Le nombre d’or, l’incarnation du mystère 1/2

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