Le nombre d’Or, l’incarnation du mystère 2/2

L'énigme de 1.618

L’énigme de 1.618

Et si la beauté était mathématique ?

Et si, nous-mêmes, nous possédions la section dorée ?

Le nombre d’Or, rappelons-le, est fort souvent assimilé à la représentation mathématique de la beauté. Ainsi que nous l’avons vu dans l’article de la semaine dernière, son utilisation a traversé les siècles, par sa présence dans les monuments les plus grandioses que le monde ait connu.

Pour les enquêteurs cherchant à percer le secret de la nature que sont les mathématiciens, cette omniprésence demeure une preuve à la fois lancinante et inexplicable de l’existence de φ et de ses propriétés.

Certains affirmeront que ce ne sont que de simples coïncidences. A cette affirmation, deux points méritent d’être soulignés afin de se faire sa propre opinion sur la question.

Le premier est le suivant : son utilisation implique souvent un résultat à la hauteur du mérite qu’on lui attribue.

L'Annonciation de Léonard de Vinci

L’Annonciation de Léonard de Vinci

Parlons notamment de peintures, nous avons déjà vu que Léonard de Vinci a employé des rectangles et des spirales d’Or dans sa Mona Lisa, toutefois cela ne s’arrête pas là. On le retrouve également dans d’autres œuvres emblématiques du célèbre peintre, notamment dans « l’Annonciation » ou « La Cène ».

La Vénus de Boticelli

La Vénus de Boticelli

Un autre peintre fort célèbre, Sandro Botticelli, le même qui éprouvait une vénération pour Dante Aligheri, a basé sa célèbre œuvre « La Naissance de Vénus » sur 1,618, comme vous pouvez le constater ci-contre.

Bien plus contemporain, Salvador Dali était également un fervent adepte du nombre d’Or, la géométrie du « Sacrement de la Dernière Cène » le prouve. D’autres artistes comme Seurat firent de même dans leurs diverses créations. Les peintres n’étaient pas forcément les seuls à employer φ dans le domaine des arts.

La Cène de Dali

La Cène de Dali

C’est notamment le cas de la musique, dans certaines symphonies de compositeurs comme Bach, Debussy ou Ravel, mentionnons entre autres le « Reflet dans l’eau ».

Une succession de 2 et 3 touches noires, encore Fibonacci !

Une succession de 2 et 3 touches noires, encore Fibonacci !

L’énigmatique et mystérieux luthier Antonio Giacomo Stradivari, davantage connu sous le nom de Stradivarius, a façonné ses instruments en se rapportant au nombre d’Or. Stradivarius, mondialement célèbre pour ses violons d’une sonorité incomparable et d’une fabrication restant encore aujourd’hui obscure, écrivit dans son carnet personnel les lignes suivantes : « Qui penserait que pour construire un violon, il faut d’abord tracer deux pentacles dans un cercle ? »

Dès lors, il est amusant de constater que l’emploi de la section dorée implique presque invariablement une œuvre dotée de beauté, qu’elle soit visuelle ou auditive.

La queue du caméléon

La queue du caméléon

Le deuxième point à souligner afin de bien appréhender la problématique insolite du nombre d’Or, c’est sa présence constante dans les merveilles de la nature.

La spirale d'Or d'un simple oeuf

La spirale d’Or d’un simple oeuf

Le meilleur exemple demeure bien entendu la spirale du nautile, comme nous l’avons vu dans le précédent article.

Les tentacules d'une pieuvre

Les tentacules d’une pieuvre

Toutefois, cela ne s’arrête pas là. On retrouve cette même spirale dans les endroits les plus insoupçonnés : depuis la queue du caméléon à la forme d’un œuf en passant par les tentacules de la pieuvre.

C’est là que Fibonacci et sa suite reviennent en force. En effet, beaucoup de végétaux renferment les nombres de la suite de Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 …
C’est le cas des cœurs de tournesols, des écorces d’ananas ou encore des pommes de pin. Si on compte le nombre de spirales que ces derniers possèdent, dans le sens horaire et dans le sens inverse, on trouvera fatalement deux nombres consécutifs de la suite : (8; 13) ou (21; 13) par exemple.

21 et 34, encore le nombre d'Ot, sur une pâquerette cette fois

21 et 34, encore le nombre d’Ot, sur une pâquerette cette fois

Si vous n’êtes pas convaincus, livrez-vous à une petite expérience : la prochaine fois que vous rencontrerez une plante pourvue de feuilles, amusez-vous à en compter le nombre, puis comparez avec les termes de la suite de Fibonacci.
Il est probable, non pas inéluctable, mais probable que vous soyez surpris par votre découverte !

Toujours les nombres de Fibonacci !

Toujours les nombres de Fibonacci !

Et l’être humain, alors ? N’est-il pas un produit de la nature, lui aussi ?

Le spirale d'or sur le visage

Le spirale d’or sur le visage

Même le poing fermé renferme une spirale, curieux non ?

Même le poing fermé renferme une spirale, curieux non ?

Des faits troublants apparaissent afin de conforter ce postulat, car après tout, n’avons-nous pas 5 doigts à chacune de nos 2 mains, tout deux des nombres de la suite de Fibonacci?

Les proportions humaines sont, elles aussi, curieusement déroutantes dans ce domaine.

A une plus grande échelle, nous ne sommes pas non plus épargnés par le nombre d’Or, que ce soit dans l’aspect des cyclones aux spirales des galaxies.

L'ouragan et le nombre d'or

L’ouragan et le nombre d’or

Alors ? Convaincus par φ et son mystère ?

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Le nombre d’or, l’incarnation du mystère 1/2

Les arcanes du nombre d'or

Les arcanes du nombre d’or

 

Le nombre d’Or est un de ses mystères des mathématiques dont l’omniprésence ne cesse de surprendre et dont l’explication demeure à ce jour inconnue. Selon l’école Pythagoricienne, il fait partie de ces nombres sur lequel la voûte de l’univers repose.

De tout temps, ce nombre a brillé par sa présence et son utilisation dans des domaines aussi divers que la géométrie, l’architecture, la peinture, la musique, la biologie, l’astronomie … Philosophiquement parlant, le nombre d’Or serait l’incarnation mathématique de la beauté.

En d’autres termes, l’emploi de ce nombre dans une quelconque réalisation conduirait fatalement à une harmonie géométrique.

Le nombre d’Or, dit Phi, est un nombre irrationnel dont les premières décimales sont 1,618. Il correspond mathématiquement au rapport suivant :

Phi ou le nombre d'or

Phi ou le nombre d’or

Ce rapport provient de la solution positive de la résolution d’une équation basée sur le schéma suivant :

La section dorée

La section dorée

Il peut être utilisé afin de diviser une ligne en deux parts inégales de manière à obtenir la relation découverte par Euclide, père de la géométrie, dans son anthologie Les Éléments : b/a = a/(a+b).

Une fois correctement écrite, cette même relation s’avère être une équation du second degré dont une des deux solutions n’est autre que 1,618. On parle de section dorée.

Si phi porte cette appellation, c’est en hommage au sculpteur grec très connu Phidias (490-430 av J.C) qui bâtit le Parthénon, et qui utilisa maintes fois ce même rapport dans l’élaboration de son magnifique édifice. Toutefois, l’usage de ce nombre s’avère encore plus ancien que les Grecs. On le retrouve étrangement dans l’architecture de la Pyramide de Khéops, près de 2800 ans avant J.C.

Leonardo Fibonacci

Leonardo Fibonacci

Les recherches sur ce nombre mystérieux se sont poursuivies au cours des siècles, connaissant des avancées de plus en plus fracassantes. Un de ces progrès dans l’appréhension de phi eut lieu notamment au Moyen-Âge par le biais du mathématicien italien Leonardo Fibonacci, ou Léonard de Pise (1175-1240) qui réussit à mettre en évidence une série mathématique en lien direct avec le nombre d’Or.

La Joconde de Léonard de Vinci

La Joconde de Léonard de Vinci

La Renaissance aura également apporté son lot de découvertes sur cette thématique avec son emploi dans diverses œuvres. On le retrouve dans les proportions de la Mona Lisa de Léonard de Vinci. Le mathématicien et moine franciscain Luca Pacioli emploie le terme de « Divine Proportion » pour qualifier ce nombre si extraordinaire.
C’est au tour de l’astronome Johannes Kepler (1571-1630) d’employer la périphrase de « joyau de la géométrie » à son égard.

Il faudra attendre le XXème siècle avec le diplomate et ingénieur roumain Matila Ghyka pour que le terme de « nombre d’or » apparaisse tandis que des artistes contemporains tels que Dali, Picasso ou Le Corbusier usent à foison de ce dernier dans leurs réalisations.

La question que l’on peut dès lors se poser n’est autre que la suivante : certes, ce nombre interviendrait maintes et maintes fois, mais de quelle manière ?

A cette interrogation, il serait possible d’y répondre par trois points :
– Le rectangle d’or.
– La spirale d’or.
– La suite de Fibonacci.

Le Parthénon et le nombre d'or

Le Parthénon et le nombre d’or

Commençons par le plus simple : le rectangle d’or. Il s’agit simplement d’un rectangle dont le rapport de la longueur sur la largeur est égal à 1,618. Il est omniprésent dans le Parthénon notamment, tout comme on le retrouve sur d’autres monuments grandioses : la Cathédrale Notre-Dame.

La Cathédrale Notre-Dame de Paris

La Cathédrale Notre-Dame de Paris

On peut effectivement observer des rectangles d’or au niveau des portes mais aussi au niveau des fenêtres. Il n’est cependant pas nécessaire de remonter si loin pour trouver des exemples, à l’instar du dessin de la pomme Apple.

Une pomme pas si ordinaire

Une pomme pas si ordinaire

Il s’avère que le rectangle d’or possède une propriété géométrique stupéfiante : il est possible d’imbriquer des rectangles d’or de taille plus petite à l’intérieur, de telle sorte à ce qu’une mise en abîme s’opère et qu’une spirale se dessine : c’est la spirale dorée. Cette même spirale qui suit la courbe de la coque du nautile et que l’on retrouve également dans les endroits les plus insoupçonnés.

La spirale d'or

La spirale d’or

La suite de Fibonacci repose quant à elle sur une suite arithmétique dont les premiers nombres sont les suivants : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 …
En vérité, le terme suivant correspond à la somme des deux derniers termes, en l’occurrence 13 + 21 qui donne 34, et ainsi de suite.
Le plus surprenant dans cette suite, c’est le rapport de deux termes consécutifs. Plus on poursuit la suite, plus on se rapproche de phi.
Un exemple sera plus parlant :
– 1/1 = 1
– 3/2 = 1,5
– 5/3 = 1,67
– 21/13 = 1,615
– 233/144 = 1,61805 …

Chaque génération de lapins correspond à un nombre de la suite

Chaque génération de lapins correspond à un nombre de la suite

Pour la petite histoire, il s’agissait de la solution fournie par Léonard de Pise afin de pouvoir prévoir l’augmentation croissante de lapins au fur et à mesure des générations. Les nombres de cette suite sont de cette façon directement liés au nombre d’Or, et eux aussi sont omniprésents comme nous le verrons dans le prochain article traitant notamment sur le nombre d’Or dans les arts et la nature.

A la semaine prochaine !

L'omniprésence de Phi

L’omniprésence de Phi